桶圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1,F_1,F_2$ 分别为左右焦点, 过点 $P\left(m,0\right)(m<-\sqrt{2})$ 的直线交椭圆于点 $A,B$ 且点 $A,B$ 在 $x$ 轴的上方, $A$ 在 $P,B$ 的中间.

(1) 若 $B$ 是上顶点, $\left|\overrightarrow{B{F}_1}\right|=\left|\overrightarrow{P{F}_1}\right|$, 求 $m$.

(2) 若 $\overrightarrow{F_{1}A}\cdot \overrightarrow{F_{2}A}=\frac{1}{3}$, 且 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{15}}{15}$, 求直线 $l$ 的方程.

(3) 求证：对任意的 $m<-\sqrt{2}$, 使得 $F_{1}A\parallel B{F}_2$ 的直线有且仅有一条.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等