如图，在三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 $\mathit{ABC},\mathit{AC}\perp \mathit{BC},\mathit{AC}=\mathit{BC}=2$ ， $C{C}_1=3$ ，点 $D,\mathit{\hspace{1em}E}$ 分别在棱 $A{A}_1$ 和棱 $C{C}_1$ 上，且 $\mathit{AD}=1\mathit{\hspace{1em}CE}=2,\mathit{\hspace{1em}M}$ 为棱 $A_1{B}_1$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1}M\perp B_{1}D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B-B_{1}E-D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $\mathit{AB}$ 与平面 $D{B}_{1}E$ 所成角的正弦值．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等