如图,直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1的底面是菱形, AA 1=4, AB=2,∠ BAD=60°, E, M, N分别是 BC , BB 1, A 1 D的中点.
(1)证明: MN∥平面 C 1 DE;
(2)求二面角 A-MA 1 -N的正弦值.
如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点
,
,
分别是
、
、
的中点,计算:
(1);
(2)的长;
(3)异面直线与
所成角的余弦值.
一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有的面积,问应如何设计十字型宽
及长
,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜钱最节省.
设命题:“
”,命题
:“
”;如果“
或
”为真,“
且
”为假,求
的取值范围.
设、
.
(Ⅰ)若在
上单调,求
的取值范围;
(Ⅱ)若对一切
恒成立,求证:
;
(Ⅲ)若对一切满足的实数
,都有
,且
的最大值为1,求证:
、
满足的条件是
且
已知定义在上的函数
满足
,当
时,
,且
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,关于
的方程
有解,求
的取值范围.