在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2y2b21（a＞b-优题课

题文

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线 $l ： y = k_{1} x ﹣ \frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为 $k_{2}$ ，且看 $k_{1} k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且 $| MC | ： | AB | = 2 ： 3$ ，⊙M的半径为 $| MC |$ ，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求 $∠ SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：椭圆圆锥曲线综合

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本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
（文）对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．
（1）写出曲线的外确界与内确界；
（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．

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已知数列的首项为，记().
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；
（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

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沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．

（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．

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已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若在区间上是增函数，试求、应满足的条件．

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在中，分别为内角所对的边，且满足,．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．

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