已知：如图，△ABC为锐角三角形，ABBC，CD∥AB．求作-优题课

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题文

已知：如图， $△ A B C$ 为锐角三角形， $A B = B C ， C D ∥ A B$ ．

求作：线段 BP ，使得点 P 在直线 CD 上，且 $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．

作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C ， P 两点；②连接 BP ．线段 BP 就是所求作线段．

（ 1 ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（ 2 ）完成下面的证明．

证明： $∵ C D ∥ A B$ ，

$∴ ∠ A B P =$ ．

$∵ A B = A C$ ，

∴点 B 在⊙ A 上．

又∵ $∠ B P C = \frac{1}{2} ∠ B A C$ （）（填推理依据）

∴ $∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C$

科目数学题型解答题难度中等

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如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ O_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A (2, 0), B (t + 2, 0)$ （且 $t > 0)$ 两点，与 $y$ 轴相切于点 $C, AB = AC$ .

（1）求点 $C, O_{1}$ 的坐标和 $t$ 的值;

（2）求过点 $A, B, C$ 的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$ ，判断点 $D$ 与 $⊙ O_{1}$ 的位置关系，并求出 $△ ABD$ 的外接圆半径.

如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线 $BM$ ，点 $P$ 在右半圆上移动（点 $P$ 与点 $A, B$ 不重合），过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ ，垂足为 $C$ .点 $Q$ 在射线 $BM$ 上移动（点 $M$ 在点 $B$ 的右边），且在移动过程中保持 $OQ / / AP$ .

（1）若 $PC, QO$ 的延长线相交于点 $E$ ，判断是否存在点 $P$ ，使得点 $E$ 恰好在 $⊙ O$ 上?若存在，求出 $∠ APC$ 的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $AQ$ 交 $PC$ 于点 $F$ ，设 $k = \frac{PF}{PC}$ ，试问: $k$ 的值是否随点 $P$ 的移动而变化?证明你的结论.

如图， $AB$ 是半圆的直径，弦 $CD / / AB$ ，过点 $B$ 的切线交 $AD$ 的延长线于点 $E, EF ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $F$ .求证: $AC = CF$ .

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是弧 $AB$ 的中点，延长 $AC$ 至 $D$ ，使 $CD = AC$ ，连接 $DB . E$ 是 $OB$ 的中点， $CE$ 的延长线交 $DB$ 的延长线于点 $F, AF$ 交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $BH$ .

（1）求证: $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = 1$ ，求 $BH$ 的长.

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