如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BĈ的中点-优题课

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题文

如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\hat{BC}$ 的中点，过点D作 $⊙ O$ 的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．

（1）求证： $B C ∥ P F$ ；

（2）若⊙O的半径为 $\sqrt{5}$ ， $D E ＝ 1$ ，求AE的长度；

（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．

科目数学题型解答题难度中等

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解方程： $\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝﹣ x^{2} + bx + c$ 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点，其中 A点坐标为（3，0）， B点坐标为（﹣1，0），连接 AC、 BC．动点 P从点 A出发，在线段 AC上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点 C做匀速运动；同时，动点 Q从点 B出发，在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t秒．

（1）求 b、 c的值．

（2）在 P、 Q运动的过程中，当 t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M，使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， AB是⊙ O的直径，点 F在⊙ O上，∠ BAF的平分线 AE交⊙ O于点 E，过点 E作 $ED ⊥ AF$ ，交 AF的延长线于点 D，延长 DE、 AB相交于点 C．

（1）求证： CD是⊙ O的切线；

（2）若⊙ O的半径为5， $\tan ∠ EAD = \frac{1}{2}$ ，求 BC的长．

如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $∠ CDE ＝ 15 °$ ，支架 AC长为1 m， $∠ ACD ＝ 75 °$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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