如图，锐角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是 $a,b,c$，已知二次函数 $y=x^2\text{cos}A-x+\frac{1}{\text{cos}A}$的图象顶点与点 $\left(-2\text{cos}A,3\text{cos}A\right)$关于 $y$轴对称.延长 $\mathit{AB}$至 $P$点，使 $\mathit{AP}=2\mathit{AC}$，且以 $C$为圆心， $\mathit{AC}$为半径的圆与以 $B$为圆心 $\mathit{BP}$为半径的圆相外切.

（1）求 $\angle A$的度数;

（2）设 $\mathit{BP}=r$，求 $a:b:c$的值;

（3）若关于 $t$的方程 $3t^2-3\mathit{ct}+\left(a+b\right)=0$的两个根 $\alpha ,\beta$满足 $\alpha \left(\alpha +1\right)+\beta \left(\beta +1\right)=\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等