如图，在四边形ABCD中，AD//BC,∠ABC90∘,AD-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC, ∠ ABC = 90^{\circ}, AD = CD, O$ 是对角线 $AC$ 的中点，连接 $BO$ 并延长交边 $CD$ 于点 $E$ .

（1）当点 $E$ 在 $CD$ 上，①求证: $△ DAC \sim △ OBC$ ；②若 $BE ⊥ CD$ ，求 $AD : BC$ 的值；

（2）若 $DE = 2, OE = 3$ ，求 $CD$ 的长.

科目数学题型解答题难度中等

如图，一艘轮船位于灯塔 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向，与灯塔 $P$ 的距离为80海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $45 °$ 方向的 $B$ 处，求此时轮船所在的 $B$ 处与灯塔 $P$ 的距离．（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ，结果保留整数）

如图，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 2 x$ 与抛物线 $C_{2} : y = a x^{2} + bx$ 开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$ ， $C$ 两点，且分别与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，点 $A$ ， $OA = 2 OB$ ．

（1）求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $PA + PC$ 的值最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$ 是直线 $OC$ 上方抛物线 $C_{2}$ 上的一个动点，连接 $MO$ ， $MC$ ， $M$ 运动到什么位置时， $ΔMOC$ 面积最大？并求出最大面积．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ，且 $AC = BD$ ，连接 $AD$ ， $BC$ ．

（1）求证： $ΔADB ≅ ΔBCA$ ；

（2）若 $OD ⊥ AC$ ， $AB = 4$ ，求弦 $AC$ 的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $AB$ 至点 $P$ ，使 $BP = 2$ ，连接 $PC$ ．求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 $A$ 旋转，连接 $BC$ ， $DE$ ．探究 $S_{ΔABC}$ 与 $S_{ΔADE}$ 的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图① $)$

（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 $30 °$ 角的直角三角板时， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图② $)$

（3）两块三角板中， $∠ BAE + ∠ CAD = 180 °$ ， $AB = a$ ， $AE = b$ ， $AC = m$ ， $AD = n (a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 为常数）， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，用含 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③ $)$

某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 $A$ ， $B$ 两种客车可供租用， $A$ 型客车每辆载客量45人， $B$ 型客车每辆载客量30人．若租用4辆 $A$ 型客车和3辆 $B$ 型客车共需费用10700元；若租用3辆 $A$ 型客车和4辆 $B$ 型客车共需费用10300元．

（1）求租用 $A$ ， $B$ 两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

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