如图，在矩形ABCD中，AB12,AC20，两条对角线相交于-优题课

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12, AC = 20$ ，两条对角线相交于点 $O$ .以 $OB, OC$ 为邻边作第 $1$ 个平行四边形 $OB B_{1} C$ ，对角线相交于点 $A_{1}$ ；再以 $A_{1} B_{1}, A_{1} C$ 为邻边作第 $2$ 个平行四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ，对角线相交于点 $O_{1}$ ；再以 $O_{1} B_{1}, O_{1} C_{1}$ 为邻边作第 $3$ 个平行四边形 $O_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ；…，依此类推.

（1）求矩形 $ABCD$ 的面积；

（2）求第 $1$ 个平行四边形 $OB B_{1} C$ 、第 $2$ 个平行四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ 和第 $6$ 个平行四边形的面积.

科目数学题型解答题难度中等

如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东 $64 °$ 方向，距离灯塔120海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $45 °$ 方向上的 $B$ 处，求 $BP$ 和 $BA$ 的长（结果取整数）．

参考数据： $\sin 64 ° \approx 0.90$ ， $\cos 64 ° \approx 0.44$ ， $\tan 64 ° \approx 2.05$ ， $\sqrt{2}$ 取1.414．

已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AT$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ ABT = 50 °$ ， $BT$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $E$ 是 $AB$ 上一点，延长 $CE$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

（1）如图①，求 $∠ T$ 和 $∠ CDB$ 的大小；

（2）如图②，当 $BE = BC$ 时，求 $∠ CDO$ 的大小．

某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的跳水运动员人数为　　，图①中 $m$ 的值为　　；

（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x + 1 ⩾ 2 ① \\ 5 x ⩽ 4 x + 3 ② \end{matrix}$

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得　　；

（2）解不等式②，得　　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为　　．

已知抛物线 $C : y = x^{2} - 2 x + 1$ 的顶点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，点 $F (1, \frac{1}{2})$ ．

（Ⅰ）求点 $P$ ， $Q$ 的坐标；

（Ⅱ）将抛物线 $C$ 向上平移得到抛物线 $C'$ ，点 $Q$ 平移后的对应点为 $Q'$ ，且 $FQ' = OQ'$ ．

①求抛物线 $C'$ 的解析式；

②若点 $P$ 关于直线 $Q' F$ 的对称点为 $K$ ，射线 $FK$ 与抛物线 $C'$ 相交于点 $A$ ，求点 $A$ 的坐标．

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