如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的-优题课

如图， $D$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ D E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $A B ＝ C B$ ；

（2）若 $A B ＝ 18$ ， $\sin A = \frac{1}{3}$ ，求 $E F$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

在如图所示的坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．

$(1, 1), (2, 0), (1, - 1), (6, - 1), (6, 2), (5, 3), (4, 3), (3, 2), (5, 2), (5, 0), (4, 1), (1, 1)$ ，观察图形，你觉得它像什么?

（1）若以上的点的纵坐标不变，将横坐标分别加 $3$ ，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

（2）若以上点的横坐标不变，纵坐标分别减 $2$ ，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化?

在如图所示平面直角坐标系中，多边形 $ABCDEF$ 的各顶点的坐标分别是 $A (1, 0), B (2, 3), C (5, 6), D (7, 4), E (6, 2), F (9, 0)$ ，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?

如左图，在平面直角坐标系中，点 $A ， B$ 的坐标分别为 $(- 1 ， 0) ， (3 ， 0)$ ，现同时将点 $A ， B$ 分别向上平移 $2$ 个单位，再向右平移 $1$ 个单位，分别得到点 $A ， B$ 的对应点 $C ， D$ ，连接 $AC ， BD$ .

（1）求点 $C ， D$ 的坐标及四边形 $ABCD$ 的面积；

（2）在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，连接 $PA ， PB$ ，使 $S_{△ PAB} = S_{四边形 ABCD}$ ，若存在这样一点，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由；

（3）如右图，点 $P$ 是线段 $BD$ 上的一动点，连接 $PC ， PO$ ，当点 $P$ 在 $BD$ 上移动时（不与 $B ， D$ 重合）给出下列结论：① $\frac{∠ DCP + ∠ BOP}{∠ CPO}$ 的值不变；② $\frac{∠ DCP + ∠ CPO}{∠ BOP}$ 的值不变.

其中有且只有一个是正确的，请你找出这个正确的结论并求其值.

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的数.

（1）画出由里向外的第 $4$ 个正方形，求在第四个正方形边上有多少个整点?

（2）请你猜测由里向外第 $20$ 个正方形（实线）四条边上的整点共有多少个；

（3）探究点 $(- 4 ， 3)$ 在由里向外的第几个正方形的边上，点 $(- 2 n ， 2 n)$ 在由里向外的第几个正方形的边上.

如图，将长方形 $ABCD$ 放置在平面直角坐标系中， $AB / / x$ 轴，且 $AB = 4 ， AD = 2$ ，且 $A (2 ， 1)$ .

（1）求 $B ， C ， D$ 的坐标，并说明将长方形 $ABCD$ 进行怎样的平移使 $C$ 点移到 $A$ 点处；

（2） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ PAB$ 的面积等于长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{3}{4}$ ，若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，说明理由.