(本题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
(1)写出υ关于ω的函数关系式；(2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(3)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率 = 
×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
（本题15分）如图，三棱锥
中，
底面
，
是正三角形，
，
，
是
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）设二面角
的大小为
，求
的值．
（本题14分）已知数列
满足：
，
．
（1）求数列的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和．
（本题14分）在
中，已知
（1）求角C；
（2）若
，求
的最大值．
（本小题满分14分）已知椭圆
的右焦点为
，且点
在椭圆
上，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过定点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，且
为锐角，求直线的斜率
的取值范围；
（Ⅲ）过椭圆
上异于其顶点的任一点
，作圆
的两条切线，切点分别为
（不在坐标轴上），若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值．
（本小题满分13分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的极大值；
（Ⅱ）设定义在
上的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，求实数
的取值范围．