已知，试求的最大值.-优题课

已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (y \geq 0, a > 0)$ 与x轴的左、右两个交点，直线 $l$ 过点B,且与 $x$ 轴垂直，S为 $l$ 上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\overset{⏜}{AB}$ 的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$ ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由。

如图，某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $OSM$ ，该曲线段为函数 $y = A \sin ω x (A > 0, ω > 0)$ ， $x \in [0, 4]$ 的图象，且图象的最高点为 $S (3, 2 \sqrt{3})$ ；赛道的后一部分为折线段 $MNP$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $∠ MNP = 120 °$

（Ⅰ）求A , $ω$ 的值和M，P两点间的距离；

（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道 $MNP$ 最长？

如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形， $MD ⊥ 平面 ABCD$ ， $NB ⊥ 平面 ABCD$ ，且 $MD = NB = 1$ ， $E$ 为 $BC$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $ES ⊥ 平面 AMN$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由

从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $Eξ$

已知曲线 $C_{n} : x^{2} - 2 nx + y^{2} = 0 (n = 1, 2, \dots)$ ．从点 $P (- 1, 0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n} (k_{n} > 0)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

（１）求数列 ${x_{n}} 与 {y_{n}}$ 的通项公式；

（２）证明： $x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdot \dots \cdot x_{2 n - 1} < \sqrt{\frac{1 - x_{n}}{1 + x_{n}}} < \sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$