已知数列满足，求数列的通项公式。-优题课

已知数列满足，求数列的通项公式。

科目数学题型解答题难度较易

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，且乙投球2次均未命中的概率为 $\frac{1}{16}$ .
（Ⅰ）求乙投球的命中率 $p$ ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}, x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ .
（Ⅰ）求 $\sin x$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的值.

已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_{1} (- 3, 0)$ ,一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x - 2 y = 0$ .
(Ⅰ)求双曲线 $C$ 的方程；
(Ⅱ)若以 $k (k \neq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M, N$ ,线段 $M N$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ,求 $k$ 的取值范围.

已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n = 1, 2 . . .$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 $x > 0$ ， $a_{n} \geq \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} (\frac{2}{3^{n}} - x), n = 1, 2 . . .$ ;
（Ⅲ）证明： $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}$ ．

已知函数 $f (x) = \frac{k x + 1}{x^{2} + c}$ （ $c > 0$ 且 $c \neq 1, k \in R$ ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 $x = - c$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$ ，并求 $M - m \geq 1$ 时 $k$ 的取值范围．

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