（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6-优题课

题文

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）
我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。

科目数学题型解答题难度中等

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（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数是图像上的两点，横坐标为的点满足（为坐标原点）.
（1）求证：为定值；
（2）若，
求的值；
（3）在(2)的条件下，若，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围.

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．
设，常数，定义运算“”：，定义运算“”：；对于两点、，定义.
(1)若，求动点的轨迹；
(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若，试求的值；
(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围．

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心米内的圆环面为第区、米至米的圆环面为第区、……、第米至米的圆环面为第区，…，现测得第区火山灰平均每平方米为1000千克、第区每平方米的平均重量较第区减少、第区较第区又减少，以此类推，求：
（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？
（2）第几区内的火山灰总重量最大？