设椭圆C1的方程为(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y，且曲线-优题课

题文

设椭圆C₁的方程为(a＞b＞0)，曲线C₂的方程为y=，且曲线C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P.
（1）试用a表示点P的坐标；
（2）设A、B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；
（3）记min{y₁,y₂,……,y_n}为y₁,y₂,……,y_n中最小的一个. 设g(a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.

科目数学题型解答题难度中等

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如图，设抛物线方程为 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ , $M$ 为直线 $y = - 2 p$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A, B$ .

（Ⅰ）求证： $A, M, B$ 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当 $M$ 点的坐标为 $(2, - 2 p)$ 时， $(A B) = 4 \sqrt{10}$ ，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点 $M$ ，使得点 $C$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $D$ 在抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，其中，点 $C$ 满足 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ （ $O$ 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.