已知常数
，在矩形
中，
，
，
为
的中点．点
分别在
上移动，且
，
为
与
的交点（如图）．问是否存在两个定点，使点到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
（本小题满分14分）
(1) 证明：当
时，不等式
成立；
(2) 要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
(3)请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．
（本小题满分14分）
已知
，数列
的前
项的和记为
.
（1） 求
的值，猜想的表达式；
（2） 请用数学归纳法证明你的猜想.
（本小题满分14分）
已知
的展开式中所有项的系数和是243.
（1） 求
值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2） 求
值.
（本小题满分14分）
已知：
， 求证：
.
（本小题满分12分）
有3个男生，2个女生站成一排.
（1）两个女生不站在一起的排法；
（2）男生甲不站两端的排法；
（3）甲、乙之间有且只有一人的排法.