若角的终边落在直线上，求和的值．-优题课

已知圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）l是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线，l与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|A B|$ .

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 $n$ 。如果 $n$ =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n$ =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望。

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $C A = C B$ ， $A B = A A_{1}$ ， $∠ B A A_{1} = 60^{°}$ .

（Ⅰ）证明 $A B ⊥ A_{1} C$ ;
（Ⅱ）若平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A B = C B$ ，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值。

如图，在 $∆ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{°}, A B = \sqrt{3}, B C = 1, P$ 为 $∆ A B C$ 内一点， $∠ B P C = 90^{°}$ .

(1)若 $P B = \frac{1}{2}$ ,求 $P A$ ；
(2)若 $∠ A P B = 150^{°}$ ，求 $\tan ∠ P B A$ .

设f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x＋4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．