已知，且，，求的值。-优题课

如图，在三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $AD = 1 CE = 2, M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $AB$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

在 $△ ABC$ 中，角所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．

（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

已知 $1 < a \leq 2$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在 $(0 ， + \infty)$ 上有唯一零点；

（Ⅱ）记x₀为函数在 $(0 ， + \infty)$ 上的零点，证明：

（ⅰ） $\sqrt{a - 1} \leq x_{0} \leq \sqrt{2 (a - 1)}$ ；

（ⅱ） $x_{0} f (e^{x_{0}}) \geq (e - 1) (a - 1) a$ ．

如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 px (p > 0)$ ，点 A是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 A的直线 l交椭圆 $C_{1}$ 于点 B，交抛物线 $C_{2}$ 于 M（ B， M不同于 A）．

（Ⅰ）若 $p = \frac{1}{16}$ ，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值．

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中， $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1, c_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ．

（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比 $q > 0$ ，且 $b_{1} + b_{2} = 6 b_{3}$ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差 $d > 0$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ ．