已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x21于A、B两点，-优题课

已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x²-=1于A、B两点，且=（+）.
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且·=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, a + b = 3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）如图， $A, B, D$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $D P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，直线 $A D$ 交 $B P$ 于点 $M$ .设 $B P$ 的斜率为 $k$ ， $M N$ 的斜率为 $m$ .证明： $2 m - k$ 为定值.

如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $E$ 为 $C D$ 上一点， $D E = 1$ ， $E C = 3$

（1）证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。

小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ （如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ ，若 $X > 0$ 就去打球，若 $X = 0$ 就去唱歌，若 $X < 0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sin A \sin B + \sin B \sin C + 2 \cos 2 B = 1$ .

（1）求证： $a, b, c$ 成等差数列；

（2）若 $C = \frac{2}{3} π$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

正项数列 $\{a_{n}\} 满足 {a_{n}}^{2} - (2 n - 1) a_{n} - 2 n = 0$ .

$(1) 求数列 \{a_{n}\} 通项公式 a_{n}; (2) 令 b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}, 求数列 \{b_{n}\} 前 n 项的和 T_{n} .$

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