(本小题满分12分)
设函数
．
(Ⅰ)求
的单调区间；
(Ⅱ)当
时，若方程
在
上有两个实数解，求实数
的取值范围；
(Ⅲ)求证：当
时，
．
(本小题满分13分)
如图，在长方体
中，
，AB=2，点E在棱AB上移动．
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)当E为AB的中点时，求点A到面
的距离；
(Ⅲ)AE等于何值时，二面角
的大小为
．
(本小题满分12分)
已知函数
．
(Ⅰ)求函数
的最小正周期；
(Ⅱ)当
时，求函数的最大值，并写出
相应的取值．
(本小题满分12分)
某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
(Ⅰ)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡?主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是
，求抽奖者获奖的概率；
(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用
表示获奖的人数，求的分布列及
，
的值．
设不等式组
所表示的平面区域为
，记内的整点（横坐标、纵坐标为整数的点）的个数是
.
(1)求a1，a2的值及数列
的通项公式；
(2)设
，设
为数列
的前n项和，求；
(3)设
，求证：
，试讨论此函数的单调性。