甲、乙两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片.规定掷硬币的次数达6次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设
表示游戏终止时掷硬币的次数。
（1）求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率；
（2）求的分布列和数学期望
.
已知数列
的前
项和为
，且满足：
，
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和为
.
设函数
.
（1）求
的最大值；
（2）求的对称中心；
（3）将
的图像按向量
平移后得到的图象关于坐标原点对称，求长度最小的.
已知
.
（I）当
时，判断
在定义域上的单调性；
（II）若在
（e是自然对数的底）上的最小值为
，求
的值.
如图，顺达驾校拟在长为400m的道路OP的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
的图象，且图象的最高点为
，训练道路的后一部分为折线段MNP，为保证训练安全，限定
.
（I）求曲线段OSM对应函数的解析式；
（II）应如何设计，才能使折线段训练道路MNP最长？最长为多少？