已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域；（3）求的单调递减-优题课

题文

已知函数
（1）求的定义域；（2）求的值域；（3）求的单调递减区间。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：高阶矩阵与特征向量

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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）设 $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点, $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于点 $P, Q$ .
（i）证明: $O T$ 平分线段 $P Q$ (其中 $O$ 为坐标原点)；
（ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时,求点 $T$ 的坐标.

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f (x) = 2^{x}$ 的图象上（ $n \in N^{*}$ ）.
（1）若 $a_{1} = - 2$ ，点 $(a_{8}, 4 b_{7})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$ ，求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

三棱锥 $A - B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示.设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点， $P$ 为线段 $B C$ 上的点，且 $M N ⊥ N P$ .

（1）证明： $P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A - N P - M$ 的余弦值.

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{4})$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $α$ 是第二象限角， $f (\frac{α}{3}) = \frac{4}{5} \cos (α + \frac{π}{4}) \cos 2 α$ ，求 $\cos α - \sin α$ 的值.

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