以O为原点,所在直线为
轴,建立如 所示的坐标系。设
,点F的坐标为
,
,点G的坐标为
。
(1)求关于
的函数
的表达式,判断函数
的单调性,并证明你的判断;
(2)设ΔOFG的面积,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点G,求当
取最小值时椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,若点P的坐标为,C、D是椭圆上的两点,且
,求实数
的取值范围。
已知命题“若
上是减函数”;
“关于
的不等式
的解集为
”.若“
或
”为真,求实数
的取值范围.
已知抛物线的焦点为
,过焦点
且不平行于
轴的动直线
交抛物线于
,
两点,抛物线在
、
两点处的切线交于点
.
(Ⅰ)求证:,
,
三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)设直线交该抛物线于
,
两点,求四边形
面积的最小值.
设.
(Ⅰ)确定的值,使
的极小值为0;
(II)证明:当且仅当时,
的极大值为3.
某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费万元,团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者,享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域
所对应的圆心角的比值分别为1:2:3:4:5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域
,可获得价值3元的学习用品).
(Ⅰ)预计全校捐款10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗?
(II)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元的学习用品的概率.
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,则截面与底面之间的部分叫棱台.如图,在四棱台中,下底
是边长为
的正方形,上底
是边长为1的正方形,侧棱
⊥平面
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(II)求平面与平面
夹角的余弦值.