在直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $C_1$： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$． $F_2$也是抛物线 $C_2$： $y^2=4x$的焦点，点 $M$为 $C_1$与 $C_2$在第一象限的交点，且 $\left|M{F}_2\right|=\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求 $C_1$的方程；
（Ⅱ）平面上的点 $N$满足 $\stackrel{\rightharpoonup }{MN}=\stackrel{\rightharpoonup }{M{F}_1}+\stackrel{\rightharpoonup }{M{F}_2}$，直线 $l\parallel MN$，且与 $C_1$交于 $A,B$两点，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=0$，求直线 $l$的方程．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等