如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为正三角形，为的-优题课

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，
为正三角形，为的中点，为棱的中点
（1）求证：平面
（2）求二面角的大小

科目数学题型解答题难度中等

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}, n \in N^{*}$

(1)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)证明：对任意 $n > 1$ ，都有 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列.

已知函数 $f (x) = (a + 2 \cos^{2} x) \cos (2 x + θ)$ 为奇函数,且 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ,其中 $a \in R, θ \in (0, π)$

（1）求 $a, θ$ 的值；
（2）若 $f (\frac{α}{4}) = - \frac{2}{5}, α \in (\frac{π}{2}, π)$ ,求 $\sin (α + \frac{π}{3})$ 的值.

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x + 1 (a \in R)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）当 $a < 0$ 时，试讨论是否存在 $x_{0} \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (\frac{1}{2})$ .

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若动点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆 $C$ 外一点,且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直,求点 $P$ 的轨迹方程.

设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3) S_{n} - 3 (n^{2} + n) = 0$ ， $n \in N^{+}$ .
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} (a_{1} + 1)} + \frac{1}{a_{2} (a_{2} + 1)} + . . . + \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)} < \frac{1}{3}$ .

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