计算：.-优题课

设 $f (x)$ 使定义在区间 $(1, + \infty)$ 上的函数，其导函数为 $f ` (x)$ .如果存在实数 $a$ 和函数 $h (x)$ ，其中 $h (x)$ 对任意的 $x \in (1, + \infty)$ 都有 $h (x) > 0$ ，使得 $f ` (x) = h (x) (x^{2} - a x + 1)$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (a)$ .
(1)设函数 $f (x) = h (x) + \frac{b + 2}{x + 1} (x > 1)$ ，其中 $b$ 为实数
①求证：函数 $f (x)$ 具有性质 $P (b)$ ;

②求函数 $f (x)$ 的单调区间
(2)已知函数 $g (x)$ 具有性质 $P (2)$ ，给定 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty), x_{1} < x_{2}$ ,设 $m$ 为实数. $α = m x_{1} + (1 - m) x_{2}, β = (1 - m) x_{1} + m x_{2}$ ，且 $α > 1, β > 1$ ，若 $|g (α) - g (β)| < |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ,求 $m$ 的取值范围

设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ ，数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式（用 $n, d$ 表示）
②设 $c$ 为实数，对满足 $m + n = 3 k$ 且 $m \neq n$ 的任意正整数 $m, n, k$ ，不等式 $S_{m} + S_{n} > c S_{k}$ 都成立。求证： $c$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右顶点为 $A, B$ ，右顶点为 $F$ ，设过点 $T (t, m)$ 的直线 $T A, T B$ 与椭圆分别交于点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，其中 $m > 0$ , $y_{1} > 0, y_{2} < 0$

①设动点 $P$ 满足 $P F^{2} - P B^{2} = 4$ ,求点 $P$ 的轨迹
②设 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{3}$ ，求点 $T$ 的坐标
③设 $t = 9$ ,求证：直线 $M N$ 必过 $x$ 轴上的一定点（其坐标与 $m$ 无关）

某兴趣小组测量电视塔 $A E$ 的高度 $H$ (单位 $m$ ），如示意图，垂直放置的标杆 $B C$ 高度 $h = 4 m$ ，仰角 $∠ A B E = α, ∠ A D E = β$ .

（1）该小组已经测得一组 $α, β$ 的值， $\tan α = 1.24, \tan β = 1.20$ ,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$ （单位 $m$ ），使 $α$ 与 $β$ 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125 $m$ ，问 $d$ 为多少时， $α - β$ 最大.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥ 平面 A B C D$ ， $P D = D C = B C = 1, A b = 2, A B ∥ D C, ∠ B C D = 90^{°}$ .

（1）求证： $P C ⊥ B C$

（2）求点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离.