某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使-优题课

题文

某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）
（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

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设函数 $f (θ) = \sqrt{3} \sin θ + \cos θ$ ，其中，角 $θ$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $P (x, y)$ ，且 $0 \leq θ \leq π$ ．
（Ⅰ）若点 $P$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，求 $f (θ)$ 的值；
（Ⅱ）若点 $P (x, y)$ 为平面区域 $Ω : \{\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x \leq 1 \\ y \leq 1 \end{matrix}$ 上的一个动点，试确定角 $θ$ 的取值范围，并求函数 $f (θ)$ 的最小值和最大值．

如图,四棱锥 $P - A B C D$ 中, $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B ⊥ A D$ ,点 $E$ 在线段 $A D$ 上,且 $C E ∥ A B$ ．

(Ⅰ)求证: $C E ⊥$ 平面 $P A D$ ；
(Ⅱ)若 $P A = A B = 1, A D = 3, C D = \sqrt{2}, ∠ C D A = 45^{°}$ ,求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

$X$	1	2	3	4	5
$f$	$a$	0.2	0.45	$b$	$c$

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，等级系数为5的2件日用品记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，现从 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

如图，直线 $l : y = x + b$ 与抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 相切于点 $A$ ．
（Ⅰ）求实数 $b$ 的值；
（Ⅱ）求以点 $A$ 为圆心，且与抛物线 $C$ 的准线相切的圆的方程．

已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{3} = - 3$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${a_{n}}$ 的前 $k$ 项和 $S_{k} = - 35$ ，求 $k$ 的值．

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