某地有三家工厂，分别位于矩形 $ABCD$ 的顶点 $A,B$ ，及 $CD$ 的中点 $P$ 处，已知 $AB=20$ $km$ , $CD=10km$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $ABCD$ 的区域上（含边界），且 $A,B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $AO,BO,OP$ ，设排污管道的总长为 $ykm$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $\angle BAO=\theta \left(rad\right)$ ，将 $y$ 表示成 $\theta$ 的函数关系式；
②设 $OP=x\left(km\right)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

科目 数学   题型 解答题   难度 中等