设b<0,椭圆方程为x22b2y2b21,抛物线方程为x28-优题课

题文

设 $b > 0$ ,椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ,抛物线方程为 $x^{2} = 8 (y - b)$ .如图所示，过点 $F (0, b + 2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$ .已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_{1}$ 。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 $A, B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∆ A B P$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

科目数学题型解答题难度中等

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