（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列，如果(1，2，3-优题课

题文

（本小题满分13分）
对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“性质”。
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同
时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。
（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式

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已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln x - x - 1$ .证明：

（1） $f (x)$ 存在唯一的极值点；

（2） $f (x) = 0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若 $△ PO F_{2}$ 为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表.

$y$ 的分组	$[- 0.20,0)$	$[0,0.20)$	$[0.20,0.40)$	$[0.40,0.60)$	$[0.60,0.80)$
企业数	2	24	53	14	7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附： $\sqrt{74} \approx 8.602$ .

已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2, a_{3} = 2 a_{2} + 16$ .

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）设，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E， AB=3，求四棱锥 $E - B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

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