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题文

相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他需要什么.发明者说:陛下,在国际象棋的第一个格子里面放1粒麦子,在第二个格子里面放2粒麦子,第三个格子放4粒麦子,以后每个格子中的麦粒数都是它前一个格子中麦粒数的二倍,依此类推(国际象棋棋盘共有64个格子),请将这些麦子赏给我,我将感激不尽.国王想这还不容易,就让人扛了一袋小麦,但不到一会儿就没了,最后一算结果,全印度一年生产的粮食也不够.国王很奇怪,小小的“棋盘”,不足100个格子,如此计算怎么能放这么多麦子?试用程序框图表示此算法过程.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易
知识点: 框图及其结构
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在数列 a n 中, a 1 = 1 a n + 1 = c a n + c n + 1 2 n + 1 ( n N * ,其中实数 c 0 .

(1)求 a n 的通项公式;

(2)若对一切 k N * a 2 k > a 2 k - 1 ,求 c 的取值范围。

已知以原点 O 为中心, F ( 5 , 0 ) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e = 5 2 .
(I)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;
(II)如题图,已知过点 M ( x 1 , y 1 ) 的直线 l 1 : x 1 x + 4 y 1 y = 4 与过点 N ( x 2 , y 2 ) (其中 x 2 x )的直线 l 2 : x 2 x + 4 y 2 y = 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 M N 与两条渐近线分别交与 G , H 两点,求 O G H 的面积.

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如图,四棱锥 P - A B C D 中,底面 A B C D 为矩形, P A 底面 A B C D P A = P B 6 ,点 E 是棱 P B 的中点。

image.png

( I )求直线 A D 与平面 P B C 的距离;
( I I )若 A D = 3 ,求二面角 A - E C - D 的平面角的余弦值。

已知函数 f x = x - 1 x + a + ln x + 1 其中实数 a 1 .
(I)若 a = - 2 ,求曲线 y = f x 在点 0 , f 0 处的切线方程;
(II)若 f x x = 1 处取得极值,试讨论 f x 的单调性.

在甲、乙等6个单位参加的一次"唱读讲传"演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,……6),求:
(I)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(II)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ζ 的分布列与期望。

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