（本小题满分14分）在数列中，（1）求的值；（2）证明：数列-优题课

设函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x + λ (x \in R)$ 的图像关于直线 $x = π$ 对称，其中 $ω, λ$ 为常数，且 $ω \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(\frac{π}{4}, 0)$ ，求函数 $f (x)$ 的值域。

设函数 $f (x) = \frac{x}{2} + \sin x$ 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 ${x_{n}}$ .
（Ⅰ）求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式.
（Ⅱ）设 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $\sin S_{n}$ .

如图， $F_{1} F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $B$ 是直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点， $∠ F_{1} A F_{2} = 60^{°}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）已知 $∆ A F_{1} B$ 的面积为 $40 \sqrt{3}$ ，求 $a, b$ 的值.

如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方形， $O$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是棱 $A A_{1}$ 上任意一点.

（Ⅰ）证明： $B D$ $⊥ E C_{1}$ ；
（Ⅱ）如果 $A B$ = $2$ , $A E$ = $\sqrt{2}$ , $O E ⊥ E C_{1}$ , 求 $A A_{1}$ 的长.

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 $1 m m$ 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 $5000$ 件进行检测，结果发现有 $50$ 件不合格品。计算这 $50$ 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： $m m$ ）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
[-3, -2)		0.10
[-2, -1)	8
（1,2]		0.50
（2,3]	10
（3,4]
合计	50	1．00

（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。