（本小题满分12分）椭圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点）-优题课

题文

（本小题满分12分）
椭圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点）.
（Ⅰ）求证：等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围.

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相关试题

已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。
（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

请先阅读：
在等式 $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ 的两边求导，得： $(\cos 2 x) ` = (2 \cos^{2} x - 1) `$ ，由求导法则，得 $(- \sin 2 x) 2 ` = 4 \cos x (- \sin x)$ ，化简得等式： $\sin 2 x = 2 \cos x \sin x$ .
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 $(1 + x)^{n} = C \begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + . . . + C_{n}^{n} x^{n}$  （ $x \in R$ ，正整数 $n \geq 2$ ），证明： $n [(1 + x)^{n - 1} - 1] = \sum_{k = 2}^{n} k C_{n}^{k} x^{k - 1}$ （2）对于正整数 $n \geq 3$ ，求证：
（i） $\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} k C_{n}^{k} = 0$    (ii) $\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} k^{2} C_{n}^{k} = 0$ ； （iii） $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{2^{n - 1} - 1}{n + 1}$

记动点P是棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上一点，记 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} = λ$ 。当 $∠ A P C$ 为钝角时，求 $λ$ 的取值范围.

A．选修4-1　几何证明选讲

如图，设 $△ A B C$ 的外接圆的切线 $A E$ 与 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ .求证： $E D^{2} = E B \cdot E C$ .

B．选修4-2　矩阵与变换

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设椭圆 $4 x^{2} + y^{2} = 1$ 在矩阵对应的变换作用下得到曲线 $F$ ，求 $F$ 的方程.

C．选修4-4　参数方程与极坐标

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，求 $S = x + y$ 的最大值.

D．选修4-5　不等式证明选讲

设 $a, b, c$ 为正实数，求证： $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} + a b c \geq 2 \sqrt{3}$ .

若 $f_{1} (x) = 3^{|x - p_{1}|}, f_{2} (x) = 3^{|x - p_{2}|}, x \in R, p_{1}, p_{2}$ 为常数，且 $f (x) = {\begin{matrix} f_{1} (x), f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \\ f_{2} (x), f_{1} (x) > f_{2} (x) \end{matrix}$ .
（Ⅰ）求 $f (x) = f_{1} (x)$ 对所有的实数 $x$ 成立的充要条件（用 $p_{1}, p_{2}$ 表示）；
（Ⅱ）设 $a, b$ 为两实数， $a < b$ 且 $p_{1}, p_{2} \in (a, b)$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，求证： $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度和为 $\frac{b - a}{2}$ （闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n - m$ ）.

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