已知函数的图象过原点，且在、处取得极值．（Ⅰ）求函数的单调区-优题课

在中央电视台所举办的北京2008年奥运火炬手的一期选拔节目中，假定每个选手需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰。若某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别是，且各轮问题能否正确回答互不影响。
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（2）该选手在选拔过程中，他回答过的问题的总个数记为，求随机变量的分布列和数学期望.

已知数列的通项公式，，
试求的值，由此推测的计算公式，并用数学归纳法加以证明.

已知函数其中（）.
（1）求的单调增区间；
（2）曲线）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标.

已知函数，若函数在其定义域内是增函数，求的取值范围.

已知曲线 $C_{n} : y = n x^{2}$ ,点 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (x_{n} > 0, y_{n} > 0)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n = 1, 2, \dots)$ .
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在点 $P_{n}$ 处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O (0, 0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求试点 $P_{n}$ $(x_{n}, y_{n})$ ；
（3）设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数， $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，证明： $\sum_{n = 1}^{s} |\sqrt{\frac{(m + 1) x_{n}}{2}} - \sqrt{(k + 1) y_{k}}| < |\sqrt{m s} - \sqrt{k s}| (s = 1, 2, \dots)$