广东某公司为了应对美国次贷案所造成的全球性金融危机，决定适当-优题课

题文

广东某公司为了应对美国次贷案所造成的全球性金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工人，每人每年可创利润10万元．根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费．设公司裁员人数为，公司一年获得的纯收入为万元．（注：年纯收入年利润–裁员员工的生活费）
（1）求出与的函数关系式；
（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

科目数学题型解答题难度较难

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已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 4 + 5 c o s t \\ y = 5 + 5 s i n t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ 。
（Ⅰ）把 $C_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标 $(ρ ⩾ 0, 0 ⩽ θ ⩽ 2 π)$

【选修4-1：几何证明选讲】

如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上， $∠ A B C$ 的角平分线BE交圆于点 $E$ ， $D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ .

（Ⅰ）证明： $D B = D C$ ；
（Ⅱ）设圆的半径为1， $B C = \sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $△ B C F$ 外接圆的半径.

已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b, g (x) = e^{x} (c x + d)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 都过点 $P (0, 2)$ ，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y = 4 x + 2$ .

（Ⅰ）求 $a, b, c, d$ 的值
（Ⅱ）若 $x \geq - 2$ 时， $f (x) \leq k g (x)$ ，求 $k$ 的取值范围。

已知圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）l是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线，l与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|A B|$ .

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 $n$ 。如果 $n$ =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n$ =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望。

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