设 $f\left(x\right)$使定义在区间 $(1,+\infty )$上的函数，其导函数为 $f`\left(x\right)$.如果存在实数 $a$和函数 $h\left(x\right)$，其中 $h\left(x\right)$对任意的 $x\in (1,+\infty )$都有 $h\left(x\right)>0$，使得 $f`\left(x\right)=h\left(x\right)(x^2-ax+1)$，则称函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(a\right)$.
(1)设函数 $f\left(x\right)=h\left(x\right)+\frac{b+2}{x+1}(x>1)$，其中 $b$为实数
①求证：函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(b\right)$;

②求函数 $f\left(x\right)$的单调区间
(2)已知函数 $g\left(x\right)$具有性质 $P\left(2\right)$，给定 $x_1,x_2\in (1,+\infty ),x_1<x_2$,设 $m$为实数. $\alpha =m{x}_1+(1-m)x_2,\beta =(1-m)x_1+m{x}_2$，且 $\alpha >1,\beta >1$，若 $\left|g\left(\alpha \right)-g\left(\beta \right)\right|<\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$,求 $m$的取值范围

科目 数学   题型 解答题   难度 较难