如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的顶点为 $A_1,A_2,B_1,B_2$ ，焦点为 $F_1,F_2$ ， $\left|A_1{B}_1\right|=\sqrt{7}$ , $S_{▱B_1{A}_1{B}_2{A}_2}=2S_{▱B_1{F}_1{B}_2{F}_2}$ .

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；

(Ⅱ)设 $n$ 为过原点的直线， $l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$ , $B$ 两点的直线， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OP}\right|=1$ .是否存在上述直线 $l$ 使 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=0$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易