如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底-优题课

题文

如图，圆柱 $O O_{1}$ 内有一个三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $A B$ 是圆 $O$ 的直径。

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B C C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $A B = A A_{1}$ 。在圆柱 $O O_{1}$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率为 $P$ 。
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $P$ 的最大值；
(ii)记平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与平面 $B_{1} O C$ 所成的角为 $θ (0^{°} < θ \leq 90^{°})$ 。当 $P$ 取最大值时，求 $\cos θ$ 的值。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：立体图形的结构特征

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已知函数 $f (x) = \frac{a x}{{(x + r)}^{2}} (a > 0, r > 0)$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的定义域，并讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）若 $\frac{a}{r} = 400$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的极值.

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（Ⅰ）求 $E$ 的离心率 $e$ ;
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0, - b)$ , $N$ 为线段 $A C$ 的中点,证明: $M N ⊥ A B$ .

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（Ⅱ）证明：在线段 $P C$ 上存在点 $M$ ，使得 $A C ⊥ B M$ ，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值.

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（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
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（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
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