已知集合 $S_n=\left\{X\right|X=(x_1,x_2,\dots ,x_n）,x_i\in \left\{0,1\right\},i=1,2,...,n\}$, $(n\ge 2)$对于 $A=(a_1,a_2,\dots a_n,)，B=(b_1,b_2,\dots b_n,)\in Sn$，定义 $A$与 $B$的差为 $A-B=\left(\right|a_1-b_1|，|a_2-b_2|，\dots |a_n-b_n|）$；

$A$与 $B$之间的距离为 $d(A,B)=\underset{i=j}{\overset{n}{\sum }}\left|a_i-b_i\right|$

（Ⅰ）证明： $\forall A,B,C\in S_n$，有 $A-B\in S_n$，且 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$；

（Ⅱ）证明： $\forall A,B,C\in S_n$， $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P\subseteq Sn$,中有 $m(m\ge 2)$个元素，记 $P$中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d}\left(P\right)$.证明： $\bar{d}\left(P\right)\le \frac{mn}{2(m-1)}$．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等