设椭圆 $C_1$ ： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_2$ ： $x^2+by=b^2$ .

(1) 若 $C_2$ 经过 $C_1$ 的两个焦点，求 $C_1$ 的离心率；
(2) 设 $A(0,b),Q(3\sqrt{3},\frac{5}{4}b)$ ，又 $M,N$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△AMN$ 的垂心为 $B(0,\frac{3}{4}b)$ ，且 $△QMN$ 的重心在 $C_2$ 上，求椭圆 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 的方程．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等