某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买"字样,购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字样即为中奖,中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求中奖人数
的分布列及数学期望
.
(本小题满分15分)椭圆C:的长轴是短轴的两倍,点
在椭圆上.不过原点的直线
与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、
、OB的斜率分别为
、
、
,且
、
、
恰好构成等比数列,记△
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)试判断是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?
(Ⅲ)求的范围.
(本小题满分15分)已知三棱柱中,侧棱垂直于底面,
,
,
,
,点
在
上.
(Ⅰ) 若是
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)当时,求二面角
的余弦值.
(本小题满分15分)已知等比数列的前n项和为
,且满足
.
(Ⅰ) 求的值及数列
的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足
,求数列
的前
项和
.
(本小题满分15分)已知函数,
.
(Ⅰ) 求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间
上的最大值和最小值及相应的
的值.
(本小题满分14分)已知,设函数
.
(Ⅰ)若在(0, 2)上无极值,求
的值;
(Ⅱ)若存在,使得
是
在[0, 2]上的最大值,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若为自然对数的底数)对任意
恒成立时
的最大值为1,求实数
的
取值范围.