(本小题13分)
如图,四棱锥的底面为正方形,
平面
,且
,
,
,
分别是线段
,
的中点.
⑴求直线和
所成角的余弦值;
⑵求二面角平面角的余弦值.
(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)若点是曲线
上的动点,求
到直线
距离的最小值,并求出此时
点的坐标.
(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,已知是
的直径,
是
的切线,
为切点,
,交
于点
,连接
、
、
、
,延长
交
于
.
(1)证明:;
(2)证明:.
(本小题满分12分)设函数,
(其中
为自然对数的底数,
且
),曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求的值;
(2)若对任意,
与
有且只有两个交点,求
的取值范围.
(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点为
,
、
是椭圆
的左、右顶点,
是椭圆
上异于
、
的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在一定点(
),使得当过点
的直线
与曲线
相交于
,
两点时,
为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
几何题 |
代数题 |
总计 |
|
男同学 |
22 |
8 |
30 |
女同学 |
8 |
12 |
20 |
总计 |
30 |
20 |
50 |
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时
间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为,求
的分布列及数学期望
.
下面临界值表仅供参考:
![]() |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
![]() |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
.