（本小题满分16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家-优题课

题文

（本小题满分16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

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已知数列的通项公式，，
试求的值，由此推测的计算公式，并用数学归纳法加以证明.

已知函数其中（）.
（1）求的单调增区间；
（2）曲线）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标.

已知函数，若函数在其定义域内是增函数，求的取值范围.

已知曲线 $C_{n} : y = n x^{2}$ ,点 $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (x_{n} > 0, y_{n} > 0)$ 是曲线 $C_{n}$ 上的点 $(n = 1, 2, \dots)$ .
（1）试写出曲线 $C_{n}$ 在点 $P_{n}$ 处的切线 $l_{n}$ 的方程，并求出 $l_{n}$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_{n}$ 的坐标；
（2）若原点 $O (0, 0)$ 到 $l_{n}$ 的距离与线段 $P_{n} Q_{n}$ 的长度之比取得最大值，试求试点 $P_{n}$ $(x_{n}, y_{n})$ ；
（3）设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数， $x_{n}$ 与 $y_{n}$ 是满足（2）中条件的点 $P_{n}$ 的坐标，证明： $\sum_{n = 1}^{s} |\sqrt{\frac{(m + 1) x_{n}}{2}} - \sqrt{(k + 1) y_{k}}| < |\sqrt{m s} - \sqrt{k s}| (s = 1, 2, \dots)$

已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f (x) = k f (x + 2)$ ，其中常数 $k$ 为负数，且 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有表达式 $f (x) = x (x - 2)$ .
（1）求 $f (- 1)$ ， $f (2.5)$ 的值；
（2）写出 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的表达式，并讨论函数 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的单调性；
（3）求出 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

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