某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为
，一旦发生，将造成某公司300万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供选择，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为40万元和20万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为
和
.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、同时采用或都不采用，请分别计算这几种预防方案的总费用，并指出哪一种预防方案总费用最少.
(注：总费用 = 采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
如图，四棱锥
中，
底面
，四边形中，
，
，
，
.
(Ⅰ)求证：平面
平面
；
(Ⅱ)设
．
(ⅰ) 若直线
与平面
所成的角为
，求线段
的长；
(ⅱ) 在线段
上是否存在一个点
，使得点到点
的距离都相等？说明理由．
(本小题满分12分）等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
，等比数列
中，
，
，
是公比为64的等比数列．
(Ⅰ)求
与
；
(Ⅱ)证明：
.
(本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.
第一排 |
明文字符 |
A |
B |
C |
D |
| 密码字符 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
第二排 |
明文字符 |
E |
F |
G |
H |
| 密码字符 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
第三排 |
明文字符 |
M |
N |
P |
Q |
| 密码字符 |
1 |
2 |
3 |
4 |
设随机变量
表示密码中不同数字的个数．
(Ⅰ)求
； (Ⅱ)求随机变量的分布列和它的数学期望．
已知
，
(其中
)，函数
，若直线
是函数
图象的一条对称轴．
(Ⅰ)试求
的值；
(Ⅱ)若函数
的图象是由
的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移
个单位长度得到，求的单调递增区间．