(本小题满分14分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为
元，如果他卖出该产品的单价为
元，则他的满意度为
；如果他买进该产品的单价为
元，则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为
和
，则他对这两种交易的综合满意度为
.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为
元和
元，甲买进A与卖出B的综合满意度为
，乙卖出A与买进B的综合满意度为
.
(1)求和关于、的表达式；当
时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
一颗慧星沿一条以地球为焦点的抛物线运行时，当慧星离地球
万公里时，经过地球和慧得的直线与抛物线对称轴的夹角为
，求此慧星运行时离地球的最近距离．
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为
轴，抛物线上一点
到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点
的抛物线的标准方程．
如图，已知向量
，可构成空间向量的一个基底，若
，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算
，显然
的结果仍为一向量，记作
．
（1）求证：向量为平面
的法向量；
（2）求证：以
为边的平行四边形
的面积等于
；
（3）将四边形按向量
平移，得到一个平行六面体
，试判断平行六面体的体积
与
的大小．
如图，在三棱锥
中，
，
，点
分别是
的中点，
底面
．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求直线
与平面
所成角的大小；
（3）当
为何值时，
在平面内的射影恰好为
的重心？