（本题14分）已知
，
，设
．
（1）求函数
的图像的对称轴及其单调递增区间；
（2）当
，求函数的值域及取得最大值时
的值；
（3）若
分别是锐角
的内角
的对边，且
，
，试求的面积
．
已知：如图，点
在
上，
，
平分
，交于点
．求证：
为等腰直角三角形．
对于函数
，若在定义域内存在实数
，满足
，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数
，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若
是定义在区间
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
为定义域
上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
已知椭圆
的长轴两端点分别为
，
是椭圆上的动点，以
为一边在
轴下方作矩形
，使
，
交于点
，
交于点
．
（Ⅰ）如图（1），若
，且
为椭圆上顶点时，
的面积为12，点
到直线的距离为
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图（2），若
，试证明：
成等比数列．
如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排，在路南侧沿直线
排，现要在矩形区域
内沿直线将与接通．已知
，
，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的
部分的排管费用为每米2万元，设与
所成的小于
的角为
．
（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用
关于的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．
设数列
的前
项和为
，对任意
满足
，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．