选修4－1：几何证明选讲如图，已知AD是△ABC的外角∠EA-优题课

选修4－1：几何证明选讲如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.

（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB²=FA·FD；

科目数学题型解答题难度中等

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形， $∠ ABC = 120 °, AB = 1, BC = 4, PA = \sqrt{15}$ ，M，N分别为 $BC, PC$ 的中点， $PD ⊥ DC, PM ⊥ MD$ .

（1）证明： $AB ⊥ PM$ ；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值.

设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

（1）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

（2）求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有一个零点

① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2}, b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0, 1, 2, 3)$ ．

（1）已知 $p_{0} = 0.4, p_{1} = 0.3, p_{2} = 0.2, p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ ；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + p_{3} x^{3} = x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E (X) \leq 1$ 时， $p = 1$ ，当 $E (X) > 1$ 时， $p < 1$ ；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| MN | = \sqrt{3}$ ．

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