围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修),其他三面围墙需新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口如图所示。已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m。设利用旧墙的长度为x(单位:m),修建此矩形场地的总费用为y(单位:元)
(1)将y表示为x的函数
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用
(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构
为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600
人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方
图,如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”, [60,80]为“老年人”.
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(1)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;
(2)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年龄段市民中
随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为
,且点
在椭圆
上,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设过定点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,且
为锐角,求直线
的斜率
的取值范围;
(Ⅲ)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作圆
的两条切线,切点分别为
(
不在坐标轴上),若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
,证明:
为定值.
(本小题满分14分)已知函数,(其中常数
)
(Ⅰ)当时,求
的极大值;
(Ⅱ)试讨论在区间
上的单调性;
(Ⅲ)当时,曲线
上总存在相异两点
、
,使得曲线
在点
、
处的切线互相平行,求
的取值范围.
如图所示,矩形中,
,
,
,且
,
交于点
。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
(本小题满分12分)已知数列中,
,其前
项的和为
,且满足
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)证明:当时,
.