某种产品的广告费支出（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）-优题课

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线C₁的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = a \cos t \\ y = 1 + asint \end{matrix}$ （t为参数， $a ＞ 0$ ）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} ： ρ ＝ 4 cosθ$ ．

（Ⅰ）说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C₃的极坐标方程为 $θ ＝ α_{0}$ ，其中α₀满足 $\tan α_{0} ＝ 2$ ，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a．

如图，△OAB是等腰三角形， $∠ AOB ＝ 120 °$ ．以O为圆心， $\frac{1}{2} OA$ 为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明： $AB ∥ CD$ ．

已知函数 $f （ x ）＝（ x - 2 ） e^{x} + a （ x - 1 ）^{2}$ ．

（Ⅰ）讨论 $f （ x ）$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $f （ x ）$ 有两个零点，求a的取值范围．

在直角坐标系xOy中，直线 $l ： y ＝ t （ t \neq 0 ）$ 交y轴于点M，交抛物线 $C ： y^{2} ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）$ 于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．

（Ⅰ）求 $\frac{| OH |}{| ON |}$ ；

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）若 $n ＝ 19$ ，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

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