已知函数在
处取得极值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若关于的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:
时间x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
命中率y |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.6 |
0.4 |
(1)求小李这5天的平均投篮命中率;
(2)用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.
(本小题满分14分)已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)当时,求函数
的极值点;
(Ⅱ)证明:对任意恒成立;
(Ⅲ)对于函数图象上的不同两点
,如果在函数
图象上存在点
(其中
),使得在点M处的切线
∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当
,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.
试问:当时,对于函数
图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论.
(本小题满分12分)已知椭圆:
(
)的长半轴长为2,离心率为
,左右焦点分别为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点,与以
,
为直径的圆交于
,
两点,且满足
,求直线
的方程.
(本小题满分12分)如图,四棱锥中,
为矩形,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若,问当
为何值时,四棱锥
的体积最大?并求其最大体积.
(本小题满分12分)根据调查,某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 |
街舞 |
围棋 |
武术 |
人数 |
320 |
240 |
200 |
社团抽取的同学8人。
(Ⅰ) 求的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数;
(Ⅱ)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。